我惊呆了！1 + 2 + 3 +⋯ + ∞ = -1/12 ？这是真的吗，这么多正数加起来，结果竟然是一个负分数？答案是对的！

「封面」拉马努金求和法

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大家好，我是科学羊。这里是数学篇第五季第26篇。

先讲个故事：

有一天，小明和他的朋友们在计算一道数学题。

他们遇到一个看起来无穷无尽的加法问题，比如1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …，他们发现这个加法永远没有尽头。

于是他们觉得这太难了，不知道该怎么办，想放弃这没有意义的加法。

于是他们去找科学家爷爷。

爷爷说：“这确实是个有趣的问题。在传统数学里，这样的加法是没有答案的，因为数字会越来越大，永远不会有一个固定的结果。”

小朋友们很失望。但爷爷笑着说：“不过，有一个叫拉马努金的数学家，他提出了一种特别的方法，可以给这种无穷加法赋予一个特殊的‘和’。这种方法叫做‘拉马努金求和法’。”

爷爷继续解释：“比如，拉马努金发现，通过某种特别的方法，1 + 2 + 3 + 4 + … 的‘和’可以被认为是 -1/12。”

小朋友们惊讶地睁大了眼睛：“怎么可能呢？这么多正数加起来，结果竟然是一个负数？”

爷爷笑了笑，说：“这听起来确实很奇怪，但在某些数学和物理学的应用中，这种方法非常有用。比如，在研究物理学里的弦理论时，拉马努金求和法帮助科学家们解决了一些复杂的计算问题。”

爷爷继续解释：“在量子物理中，有一些现象需要处理无穷级数。如果我们用传统的方法去计算，这些级数会变得非常复杂且难以处理。但拉马努金求和法可以帮助科学家们找到一个有意义的结果，从而使得他们的研究更加顺利。”

故事讲完了，是不是觉得很离谱？没事，我们继续往下看（有证明）。

01 前言

你知道吗？在数学中有一个反常现象：将所有自然数加到一起竟然会等于一个负数，并且是一个负分数？

比如，如标题所示，1 + 2 + 3 +⋯ + ∞ = -1/12，这种数列的求和被称作拉马努金求和法。

这是以著名的印度数学家拉马努金的名字命名的，他指出，如果你把所有的自然数，也就是1,2,3,4，等等，一直加到无穷大，你会发现它等于 -1/12。即 -0.083333333333...。

当然，在深入探讨之前，有必要澄清一点：文章中提到“求和”时，其实并不是指传统意义上的求和。因为我们讨论的是一种不同类型的求和方法，即切萨罗求和（Cesàro）求和法。

对于任何对数学感兴趣的人来说，Cesàro求和为一些无穷大的和赋值，而这些无穷大的和在通常意义上是不会收敛的。

此外，本文中讨论的概念涉及可数无穷大，这是一种不同类型的无穷大，是一个处理无限的数字集，在这个集里，如果给予足够的时间，你可以数到集合中的任何一个数字。

这使得我们能够使用数学中的一些常规性质，比如交换性，都能当作一个公理来使用。

02 第一个证明

说到拉马努金求和法，我们不得不提到这位非凡的印度数学家——斯里尼瓦瑟·拉马努金（1887-1920）。

拉马努金(1887-1920)是一位印度数学家

他的名字与一个著名的数学系列联系在一起：如果你把所有的自然数（即1,2,3,4，等等）一直加到无穷大，你会发现这个总和竟然等于-1/12。

你可能会怀疑，这怎么可能？

为了弄清楚这个问题，我们需要先来证明下面这两个看似奇怪的等式：

1、1-1+1-1+1-1⋯ = 1/2

2、1-2+3-4+5-6⋯ = 1/4

首先，我们从一个看似简单的序列A开始，它等于1-1+1-1+1-1，无限重复。我会这样写：

A = 1-1+1-1+1-1⋯ 

接着，我们进行一个小小的数学变换，从1中取出A：

1-A = 1-(1-1+1-1+1-1⋯) 

这看起来还不错吧？

接下来就是“魔术”发生的地方。如果简化方程的右边，我们会得到一些非常奇特的东西：

1-A = 1-1+1-1+1-1+1⋯ 

是不是很眼熟？

没错，右边的部分正是我们开始时的序列A。

因此，我们可以用A代替右边，进行一些简单的代数运算：

1-A = A

1-A+A = A+A 

1 = 2A 

A = 1/2 

这个结果被称为格兰迪级数，以意大利数学家、哲学家和牧师圭多·格兰迪（Guido Grandi）的名字命名。

即：

它是一个发散级数，也因此在一般情况下，这个无穷级数是没有和的。

但若对该发散级数进行一些特别的求和处理时，就会有特定的和出现。格兰迪级数的欧拉和和切萨罗和均为1/2

虽然格兰迪背后没有一个特别酷的历史故事，但它确实为证明许多有趣的数学事实打开了大门，包括一个非常重要的量子力学方程，甚至是弦理论。

03 第二个证明

接下来，我们继续探索第二个证明：

1-2+3-4+5-6⋯ = 1/4

我们按照上面的方法开始，设序列

B=1-2+3-4+5-6⋯

然后我们进行一些数学变换，这次不是从1中减去B，而是从A中减去：

A-B = (1-1+1-1+1-1⋯) - (1-2+3-4+5-6⋯) 

接着，我们对这些项进行一些重组：

A-B = (1-1+1-1+1-1⋯) -1 +2-3 +4-5 +6⋯

通过重新排列，我们发现了另一个有趣的模式：

A-B = (1-1) + (-1+2) + (1-3) + (-1+4) + (1-5) + (-1+6)⋯ 

A-B = 0 + 1-2 + 3-4 + 5-6⋯ = B

再一次，我们得到了我们开始的级数。

之前我们已经知道A=1/2，所以我们用一些基本的代数运算来证明这一点：

A-B = B 

A = 2B 

1/2 = 2B 

B = 1/4 

尽管这个结果没有一个花哨的名字，但它在数学史上引发了许多争论，

并且帮助扩展了欧拉对巴塞尔问题的研究，导致了像黎曼ζ函数这样的重要数学函数的出现。

03 第三个证明

现在是最精彩的部分，我们将探索

C=1+2+3+4+5+6⋯。

你可能已经猜到了，我们要从B中减去C：

B-C = (1-2+3-4+5-6⋯) - (1+2+3+4+5+6⋯) 

通过一些数学重组，我们可以看到：

B-C = (1-2+3-4+5-6⋯) - 1-2-3-4-5-6⋯ 

B-C = (1-1) + (-2-2) + (3-3) + (-4-4) + (5-5) + (-6-6)⋯ 

B-C = 0-4 + 0-8 + 0-12⋯ 

B-C = -4-8-12⋯

这看起来与预期的不同，但我们可以进一步简化：

B-C = -4(1+2+3+4+5+6⋯)

B-C = -4C

B = -3C

因为我们已经知道B=1/4，所以我们将这个值代入：

1/4 = -3C 

C = -1/12

04 

好了，证明结束了，看似好像也很简单。但是有什么意义呢？

对于拉马努金求和法的实际应用又有哪些呢？而且为什么数学家说这个结果很重要呢？

首先，它被用于弦理论。

虽然不是霍金版本的弦理论，但在原始的玻色弦理论中，这个结果发挥了重要作用。

顺便插一句，到底什么是弦理论？我给大家讲个通俗易懂的故事就知道了。

很久以前，在一个小村庄里，住着一群喜欢玩乐器的小朋友。每个小朋友都有一种特别的乐器，比如小提琴、吉他和竖琴。他们发现，当他们用手指弹这些乐器的弦时，会发出美妙的声音。

插画 ｜ MJ

有一天，一个叫小明的小朋友问：“这些美妙的声音是从哪里来的呢？”

小朋友们一起去请教村里的科学家爷爷。科学家爷爷告诉他们：“其实，这些乐器的弦在震动时，会在空气中形成波。这些波传到我们的耳朵里，我们就听到了声音。”

小朋友们很兴奋，但小明又问：“那这个世界上的一切东西，像我们，树，星星，是不是也有弦呢？”

科学家爷爷笑了笑，说：“小明真聪明！其实科学家们也有一个类似的想法，这个想法叫做‘弦理论’。”

科学家爷爷解释道：“弦理论认为，宇宙中的所有东西都是由非常非常小的小弦组成的。这些小弦就像你们乐器上的弦一样，也在不停地震动。但它们不是发出声音，而是形成了我们看到的各种物质和力。”

“这些小弦比我们能看到的任何东西都要小很多很多，你需要一个比显微镜还要强大的仪器才能看到它们。当这些小弦以不同的方式震动时，它们就会变成不同的粒子，比如光子、电子等等。”

小朋友们点了点头，虽然觉得有点复杂，但他们明白了一个道理：“原来，我们和这个世界上的一切，都可能是由这些神奇的小弦组成的！”

当然，以上说法，只是一种理论，不大苟同，参考即可，我们继续。

尽管现在的超对称弦理论在某种程度上已经超越了玻色弦理论，但原始理论在理解超弦理论方面仍然具有重要意义。

这个拉马努金求和法在普通物理学领域也产生了巨大的影响，特别是在解决被称为卡西米尔效应的现象方面。

亨德里克·卡西米尔预测，如果把两块不带电的导电板放在真空中，由于量子涨落产生的虚粒子的存在，这两块导电板之间会产生一个吸引力。

在卡西米尔的解中，他利用了我们刚刚证明的总和来模拟板块之间的能量，这就是为什么这个价值如此重要的原因。

物质放大呈现不同阶段，终结于弦阶段：①物质 ②分子结构（原子） ③原子（质子、中子、电子） ④电子 ⑤夸克 ⑥弦

结论

拉马努金求和法是20世纪早期发现的一个非凡的数学工具，它在物理学的许多不同分支中产生了深远的影响，并且仍然能够让那些不知情的人大吃一惊。

希望通过这篇文章，能够让你对这个看似奇怪但非常重要的数学概念有更深的理解。

好，今天就先这样啦～

科学羊🐏  2024/08/02

祝幸福~ 

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